Drepte și unghiuri

Împărțirea unui segment de dreaptă În două părți egale

Pentru împărțirea segmentului de dreaptă AB în două părți egale se trasează două arce de cerc de rază R oarecare, mai mare decât jumătatea segmentului. Din intersecția celor două arce trasate rezultă punctele C și D, care unite intersectează segmentul de dreaptă AB în punctul E. Acesta reprezintă jumătatea segmentului, AE = EB.

Împărțirea unui segment de dreaptă în două părți egale

Împărțirea unui segment de dreaptă în "n" părți egale

Dacă trebuie să se împartă segmentul de dreaptă AB într-un număr n oarecare de părți egale (de exemplu în cinci părți egale), se trasează prin punctul A, la un unghi oarecare, un segment de semidreaptă pe care se măsoară cinci segmente egale cu o lungime arbitrar aleasă. Punctul 5 se unește cu punctul B, extremitatea segmentului AB. Din punctele 1, 2, 3 și 4 se trasează paralele la dreapta 5B, obţinându-se punctele a, b, c și d, care împart segmentul AB în cinci părți egale.

Împărțirea unui segment de dreaptă în "n" părți egale

Împărțirea unui segment de dreaptă într-un raport dat

Împărțirea segmentului de dreaptă AB în raportul dat (fie ), se realizează măsurând pe segmentul de semidreaptă trasat din punctul A cu un unghi oarecare 5+3 segmente egale, cu o lungime arbitrar aleasă. Punctul de diviziune 8 se uneşte cu punctul B, iar prin punctul 5 se trasează o paralelă la segmentul 8B, obţinându-se punctul C, care împarte segmentul AB în raportul dat.

Împărțirea unui segment de dreaptă într-un raport dat

Racordări

Racordarea a două drepte paralele, printr-un semicerc Problema racordării a două drepte paralele D1 și D2 poate fi pusă şi prin racordarea cu un semicerc de diametru egal cu distanţa dintre cele două drepte. Pentru realizarea acestei racordări se determină centrul O, al semicercului de racordare, prin determinarea mijlocului segmentului AB.
	Împărțirea unui segment de dreaptă într-un raport dat

Racordarea a două drepte concurente

Fiind date dreptele D şi D1 și punctul de racordare C, pe una din drepte, pentru determinarea centrului de racordare se trasează bisectoarea unghiului format de drepte. în punctul C, se duce o perpendiculară pe dreapta D care intersectează bisectoarea în centrul de racordare O. Perpendiculara trasată din punctul O pe dreapta D1, determină punctul de racordare C1. Din punctul O, ca centru, cu o rază OC egală cu OC1, se trasează arcul de racordare a dreptelor D şi D1, în punctele C şi C1.

Racordarea a două drepte concurente

Racordarea a două drepte perpendiculare

Racordarea dreptelor perpendiculare din figura alaturata cu raza de racordare R dată, se realizează trasând două drepte la distanță egală cu raza R, din a căror intersecție rezultă centrul de racordare O. Cu centrul în punctul O, se trasează arcul de cerc din punctul A în punctul B, de rază R. Aceeaşi racordare se poate realiza determinând centrul de racordare O, din intersecţia a două arce de rază R, din punctele C şi C1, aflate la distanţa R de vârful unghiului drept A.

Racordarea a două drepte perpendiculare

Racordarea unei drepte cu un cerc

Pentru racordarea cercului de rază R cu dreapta D, printr-un arc de cerc cu raza de racordare R1 dată, se trasează din punctul O ca centru, cu o rază egală cu R + R1 un arc de cerc, care intersectează paralela d, la dreapta D, dusă la distanţa R1, în centrul cercului de racordare O1. Dreapta OO1 intersectează cercul dat în punctul de racordare C. Perpendiculara trasată din punctul O1 pe dreapta D determină pe aceasta punctul de racordare C1. Din punctul O1, ca centru, cu raza de racordare dată R1, se trasează arcul de racordare între dreapta D şi arcul dat, între punctele de racordare C şi C1

Racordarea unei drepte cu un cerc

Racordarea exterioară a două cercuri

Pentru racordarea exterioară a celor două cercuri, din O cu raza R+R2 şi din O1 cu raza R1+R2, se trasează câte un arc de cerc la intersecţia cărora se determină punctul O2, centrul arcului de racord. Punctele de racordare A şi B sunt situate pe linia centrelor OO2 şi O1O2, iar racordarea se realizează cu arcul AB, de rază R2, cercurile fiind tangente exterioare la arcul de racordare.

Racordarea exterioară a două cercuri

Racordarea interioară a două cercuri

Pentru racordarea interioară a două cercuri se procedează similar, doar că din centrele cercurilor, O1 şi O2, se trasează câte un arc de cerc de rază (R-R1), respectiv (R-R2). Cercurile de racordat vor fi tangente interior la arcul de racordare.

Racordarea interioară a două cercuri

Poligoane regulate

Construcția triunghiului echilateral

Se consideră cunoscut cercul în care este înscris triunghiul echilateral. Prin centrul O al cercului se trasează diametrul AB. Cu acul compasului în B și cu raza cercului R se trasează un arc de cerc care intersectează cercul în punctele C și D. Se unesc punctele A, C și D, rezultând triunghiul echilateral.

Construcția triunghiului echilateral

Construcția pătratului

Cercul cu centrul în O din figura alaturata se poate împărţi în patru arce egale ducând diametrele perpendiculare 1-3 şi 2-4. Unind punctele consecutive 1, 2, 3 şi 4 se obţine un pătrat. Pătratul se poate construi şi cu ajutorul teului şi al echerului, trasând laturile pătratului cu echerul de 45°. Cînd se cunoaște lungimea diagonalei pătratului, construcția acestuia se efectuează ca şi. Pe o dreaptă L se măsoară diagonala AC, apoi se trasează mediatoarea segmentului AC obţinîndu-se punctul O. Cu o rază OA, din punctul O ca centru, se trasează un cerc care intersectează mediatoarea în punctele B şi D. Unind punctele consecutive A, B, C, D, se obţine pătratul căutat.

Construcția pătratului

Construcția pentagonului

În figura alaturată este prezentat în detaliu modul de trasare al pentagonului înscris într-un cerc, de rază R. Pentagonul va avea latura de lungime R1.

Construcția pentagonului

Construcția hexagonului

Se consideră cercul circumscris hexagonului, cu raza egală cu latura hexagonului, R. Pentru construcţie, cu acul compasului în 1 se trasează un arc de cerc, de rază R, care intersectează cercul în punctele 2 și 6. Similar se obţin punctele 3 și 5. Punctele 1-6 împart cercul în șase părți egale, iar unind aceste puncte rezultă hexagonul.

Construcția hexagonului

Construcția octogonului

Construcţia octogonului se realizează împărţind cercul circumscris acestuia în patru părți egale, cu ajutorul diametrelor perpendiculare, 1-5 şi 3-7. Arcul 1-3 se împarte în două părți egale, trasând din punctele 1 și 3, alese ca și centre, două arce de cerc care se intersectează în punctul E. Unind punctul E cu centrul cercului O rezultă punctul 2. Luând în compas coarda 1-2 de 8 ori pe cerc, acesta va fi împărțit în 8 părți egale.

Construcția octogonului

Construcția dodecagonului

Pentru construcţia dodecagonului se trasează diametrele perpendiculare 1-7 şi 4-10 în cercul circumscris acestuia. Cu acul compasului în punctele 1, 4, 7 şi 10 şi de rază egală cu raza cercului, se descrie câte un arc de cerc care intersectează cercul, împărţindu-l în douăsprezece părți egale. Unind aceste puncte rezultă dodecagonul.

Construcția dodecagonului